Перейти к содержимому


Фотография

Кстати, о вероятностях


  • Авторизуйтесь для ответа в теме
Сообщений в теме: 83

#1 dimka

dimka

    Продвинутый пользователь

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 1 166 сообщений

Отправлено 03 Октябрь 2008 - 11:26

Предлагаю отвлечься ненадолго от темы пиратства в России и решить следующую задачу (возможно, баян, но в архивах не нашлось):

Преположим, я участвую в некотором аналоге игры Поле Чудес. Выхожу в супер-финал и Якубович кричит: "Три шкатулки в студию!". Выносят три шкатулки. В одной из них - миллион, две другие - пустые.

"Делайте ваш выбор", говорит Якубович. Я выбираю одну из шкатулок и фиксирую свой выбор, держа палец на ее крышке. Якубович говорит: "Хорошо, вы сделали свой выбор, но я даю вам уникальный шанс - передумать и выбрать другую шкатулку, если вы этого хотите. А чтобы вам было легче, я сам открою одну из шкатулок, в которой нет миллиона". С этими словами Якубович открывает одну из двух оставшихся после моего выбора шкатулок (а он, сцуко, конечно же знает, в какой из шкатулок - миллион) и показывает ее мне. Шкатулка пуста.

"Итак, вы хотите остаться с первоначальным выбором или же вы выберете другую шкатулку", спрашивает Яубович и хитро щурит глаз.

Вопрос: что выгоднее сделать?


#2 der Fluger

der Fluger

    Pugilist Illustrator

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 2 223 сообщений

Отправлено 03 Октябрь 2008 - 11:28

Треснуть Якубовича в хитро сощуреный глаз и сказать: «Не зли меня, тварь!».

А если серьёзно: я бы продолжал настаивать на своём выборе. Каких-то аналитических методов расчёта ситуации я не вижу.


#3 dimka

dimka

    Продвинутый пользователь

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 1 166 сообщений

Отправлено 03 Октябрь 2008 - 11:30

Мотивация какая-то есть? Или просто из вредности? :)


#4 der Fluger

der Fluger

    Pugilist Illustrator

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 2 223 сообщений

Отправлено 03 Октябрь 2008 - 11:32

Мотивация такова: раз уж выбрал — то стоит придерживаться своего выбора. Всё равно это чистой воды угадайка, так что как-либо логически обосновывать свой выбор — занятие то еще.


#5 IRI

IRI

    Генерал Фейлор

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 3 775 сообщений

Отправлено 03 Октябрь 2008 - 12:19

der Fluger, вот неправда ваша. Задача из теории вероятности. Называется парадокс Монти Холла.


#6 der Fluger

der Fluger

    Pugilist Illustrator

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 2 223 сообщений

Отправлено 03 Октябрь 2008 - 12:23

QUOTE
der Fluger, вот неправда ваша.

Где моя неправда? В чём? Мне самоцитированием заняться? Я, кажется написал, что лично я не вижу путей и как поступил бы лично я. Внимательнее с формулировками.


#7 IRI

IRI

    Генерал Фейлор

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 3 775 сообщений

Отправлено 03 Октябрь 2008 - 12:27

Я сам займусь вашим цитированием:
QUOTE
Всё равно это чистой воды угадайка, так что как-либо логически обосновывать свой выбор — занятие то еще.

Это не «чистой воды угадайка». Смотрите ссылку.


#8 der Fluger

der Fluger

    Pugilist Illustrator

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 2 223 сообщений

Отправлено 03 Октябрь 2008 - 12:37

Немного семантики: приведённая цитата описывает мою мотивацию в конкретном случае. Теорию вероятности я не использую, так как не знаю её, и подобными вещами не увлекаюсь. Так что писать что-то вроде «неправда ваша» в данном случае не совсем корректно. Надеюсь, написал внятно и дойдёт быстро.


#9 IRI

IRI

    Генерал Фейлор

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 3 775 сообщений

Отправлено 03 Октябрь 2008 - 12:51

QUOTE
Теорию вероятности я не использую, так как не знаю её, и подобными вещами не увлекаюсь.

В таком случае и не спорьте, что вы были правы, говоря: «это чистой воды угадайка». Вы, конечно, можете теперь возмущенно тыкать в слова «мотивация такова», но вы и сами не брезгуете воспользоваться неосведомлённостью собеседника. Тем более, что в данном случае действительно ваша неправда (между прочим, негативного оттенка в этом выражении нет), потому что логическое решение этой задачи существует. Хоть вы его и не видите.

Это сообщение отредактировано IRI - 3 октября 2008 | 13:51


#10 Salo

Salo

    Продвинутый пользователь

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 488 сообщений

Отправлено 03 Октябрь 2008 - 14:02

Задачка интересная, математическая, а потому никаких приближений не терпит. Так что читайте по ссылке г-на IRI Полную версию задачи и решайте её, ибо с упрощённым вариантом слишком много неточностей...

ЗЫ Ещё разок ссылку дам: Парадокс Монти Холла


#11 Wasteland Ghost

Wasteland Ghost

    Маленькое Злое Привидение

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 3 451 сообщений

Отправлено 03 Октябрь 2008 - 17:31

Ух как длинно и нудно. :)

Как всегда, парадокс возникает в следствие некорректно поставленной задачи. ;) Или, в данном случае, неверно заданного условия.

Итак, вот корректное условие:
QUOTE

    Представьте, что вы стали участником игры, в которой вы находитесь перед тремя дверями. Ведущий, о котором известно, что он честен, поместил за одной из дверей автомобиль, а за двумя другими дверями — по козе. У вас нет никакой информации о том, что за какой дверью находится. Ведущий говорит вам: «Сначала вы должны выбрать одну из дверей. После этого я открою одну из оставшихся дверей, за которой находится коза. Затем я предложу вам изменить свой первоначальный выбор и выбрать оставшуюся закрытую дверь вместо той, которую вы выбрали вначале. Вы можете последовать моему совету и выбрать другую дверь, либо подтвердить свой первоначальный выбор. После этого я открою дверь, которую вы выбрали, и вы выиграете то, что находится за этой дверью.»
    Вы выбираете дверь номер 3. Ведущий открывает дверь номер 1 и показывает, что за ней находится коза. Затем ведущий предлагает вам выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы последуете его совету ?


Воспользуемся формулой полной вероятности. Вероятность события (выигрыша) в заданных обстоятельствах складывается из двух условий: выбрали первый раз и угадали или выбрали второй раз и угадали. Посчитаем. :) Изначально все три выбора равновероятны, стало быть, получаем 1/3. Если же мы ошиблись (вероятность этого события равна 2/3), то вероятность угадать в новых условиях равна 1/2. Итого: 1/3 + 2/3 * 1/2 = 2/3. Обратите внимание, что менять свой выбор вы не обязаны. Речь идёт лишь о случайном выборе решения как при первом, так и при втором опыте. При этом оба решения могут совпасть. Т.е. не смена решения увеличивает вероятность, а случайность обоих ваших решений приводит к результату 2/3. Об увеличении тут тоже говорить не совсем корректно, ибо условные и безусловные вероятности не есть одно и тоже. Так что не слушайте казуалов и не читайте попсу. ;)


#12 IRI

IRI

    Генерал Фейлор

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 3 775 сообщений

Отправлено 03 Октябрь 2008 - 20:10

Да нет, там всё то же самое написано, только несколько раз и в виде, разжёванном до предела…

Но результат, конечно же, неочевидный. Правда, до тех пор, пока не вникнешь в разницу между условной и безусловной вероятностью.

А где же автор темы? Пора раздавать призы! xD

Это сообщение отредактировано IRI - 3 октября 2008 | 21:12


#13 Wasteland Ghost

Wasteland Ghost

    Маленькое Злое Привидение

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 3 451 сообщений

Отправлено 03 Октябрь 2008 - 20:14

QUOTE
Да нет, там всё то же самое написано, только несколько раз и в виде, разжёванном до предела…

А вот и нет. ;) Там сказано, что изменение первоначального выбора увеличивает вероятность выигрыша. А это подмена понятий. Теория вероятности -- это точная наука, но точна она только применительно к случайным событиям. ;) Оба раза выбор должен быть абсолютно случаен, тогда и только тогда вероятность выиграть будет равна 2/3. Это и есть правильный ответ. ;)


#14 Salo

Salo

    Продвинутый пользователь

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 488 сообщений

Отправлено 03 Октябрь 2008 - 21:30

Поясните пожалуйста, что значит абсолютно случайный выбор?
P.S. ...и чем он отличается от просто случайного?:-)

Это сообщение отредактировано Salo - 3 октября 2008 | 22:32


#15 vad

vad

    Продвинутый пользователь

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 87 сообщений

Отправлено 04 Октябрь 2008 - 05:55

В теории вероятности я не силен, но изложу свои соображения.

Всего, по моему, существует четыре возможных варианта:
1. Я угадываю правильно и не меняю выбор(1/3*1/2=1/6) => победа
2. Я угадываю правильно и меняю выбор(1/3*1/2=1/6) => проигрыш
3. Я угадываю не правильно и не меняю выбор(2/3*1/2=1/3) => проигрыш
4. Я угадываю не правильно и меняю выбор(2/3*1/2=1/3) => победа

Т.к. события (забыл слово, ну те которые не могут происходить одновременно) то их вероятности можно складывать: 1/6 +1/6 +1/3 +1/3 = 1. Раз вероятность 1, значит вроде рассмотрел все варианты. Получаем вероятности для победы и для проигрыша 1/6 + 1/3 = 1/2. И я никак не могу понять, откуда вероятность победы 2/3. Кто-нибудь дайте расчет вероятности победы(2/3) и проигрыша(1/3), чтобы я их сложил и получил 1.
В своих рассуждениях я исхожу из того, что выбор менять ли выбор при двух вариантах это то же самое что делать выбор. Т.е. не менять выбор = выбрать старую дверь, поменять выбор = выбрать новую дверь.

Добавлено:

Прочитал в чем смысл более точной формулировки задачи. Действительно получается 2/3. Только меня жутко коробит фраза "Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор ?". По моему, говорить надо что-то типа: "Будут ли больше шансы выиграть, если изначально выбрать стратегию смены двери, вместо стратегии неизменности выбора?". А то получается, что выбираем в момент, когда осталось только две двери, причем абсолютно случайно. Именно такой случай я и рассчитывал в начале поста.


Это сообщение отредактировано vad - 4 октября 2008 | 07:33


#16 Ken

Ken

    Продвинутый пользователь

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 4 202 сообщений

Отправлено 04 Октябрь 2008 - 06:09

QUOTE
Предлагаю отвлечься ненадолго от темы пиратства в России и решить следующую задачу (возможно, баян, но в архивах не нашлось)

Для тех, кто совсем недавно смотрел кино "21" - баян :-P

Впрочем за наводки на решение этой задачи всем спасибо. А то в фильме ее объяснили как-то совсем непонятно.

Это сообщение отредактировано Ken - 4 октября 2008 | 07:09


#17 Wasteland Ghost

Wasteland Ghost

    Маленькое Злое Привидение

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 3 451 сообщений

Отправлено 04 Октябрь 2008 - 08:00

QUOTE
забыл слово, ну те которые не могут происходить одновременно

Несовместные. А решать таким способом ты имеешь право только в том случае, если события несовместны, равновероятны и образуют полную группу (сумма их вероятностей = 1). Здесь работает формула полной вероятности: вероятность события равна сумме вероятностей гипотез, умноженных на вероятность события при условии данной гипотезы.
QUOTE
Прочитал в чем смысл более точной формулировки задачи. Действительно получается 2/3. Только меня жутко коробит фраза "Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор ?". По моему, говорить надо что-то типа: "Будут ли больше шансы выиграть, если изначально выбрать стратегию смены двери, вместо стратегии неизменности выбора?". А то получается, что выбираем в момент, когда осталось только две двери, причем абсолютно случайно. Именно такой случай я и рассчитывал в начале поста.

Обе постановки вопроса неверны. Потому что теория вероятности имеет дело лишь со случайными событиями! Нельзя говорить про смену выбора и неизменность выбора -- это детерминированные действия. Т.е. всегда меняя свой выбор на противоположный ты НЕ получишь 2/3. Ты получишь 2/3 дважды сделав случайный выбор. При этом с бытовой точки зрения это звучит так:
1. "Какую из трёх дверей вы выбираете?"
2. "Какую из двух дверей вы выбираете?" или "Сохраняете ли вы свой выбор или меняете его?"
Обе формулировки во втором случае эквивалентны, только вторая почему-то вызывает ступор и/или странные выводы. :) Ведь даже если "сохранить свой выбор", ничего не изменится, потому что две оставшиеся двери равновероятны. Кстати, именно тут и начинает работать закон больших чисел. ;) Если сыграть в такую игру очень много (желательно бесконечно :) ) раз, каждый раз случайно выбирая двери, то выиграешь ты примерно в 2/3 случаев.
QUOTE
Поясните пожалуйста, что значит абсолютно случайный выбор?
P.S. ...и чем он отличается от просто случайного?:-)

Смена решения -- это не случайное событие. :) Результат броска идеально сбалансированного кубика в идеальных условиях (скажем, не дует на него никто, стол абсолютно горизонтальный) -- это случайное событие. Оно будет действительно случайным, если ты добьёшься идеальных условий, при которых все числа (цифры на кубике) будут выпадать с равной вероятностью. В жизни такое невозможно, потому кажущийся случайным выбор может на самом деле оказаться и не случайным. В силу неизвестных тебе, но от того не менее объективных и детерминированных факторов. :)


#18 vad

vad

    Продвинутый пользователь

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 87 сообщений

Отправлено 04 Октябрь 2008 - 09:13

QUOTE
А решать таким способом ты имеешь право только в том случае, если события несовместны, равновероятны и образуют полную группу (сумма их вероятностей = 1).

Ну по поводу того что они несовместны и образуют полную группу думаю сомнений нет. А сейчас я покажу фокус и сделаю их равновероятными:
1. Я выбираю машину и не меняю выбор(1/3*1/2=1/6) => победа
2. Я выбираю машину и меняю выбор(1/3*1/2=1/6) => проигрыш
3. Я выбираю козу №1 и не меняю выбор(1/3*1/2=1/6) => проигрыш
4. Я выбираю козу №1 и меняю выбор(1/3*1/2=1/6) => победа
5. Я выбираю козу №2 и не меняю выбор(1/3*1/2=1/6) => проигрыш
6. Я выбираю козу №2 и меняю выбор(1/3*1/2=1/6) => победа
Получаем 6 равновероятных, несовместных вариантов, которые образуют полную группу. :)

QUOTE
Потому что теория вероятности имеет дело лишь со случайными событиями! Нельзя говорить про смену выбора и неизменность выбора -- это детерминированные действия.

Ну так мы и имеем дело со случайными событиями. Точнее вначале мы выбираем рассматриваемое случайное событие (ну примерно как выбрать бросать монетку или кубик, и при этом только одно значение будет выигрышным).

QUOTE
Т.е. всегда меняя свой выбор на противоположный ты НЕ получишь 2/3. Ты получишь 2/3 дважды сделав случайный выбор.

А вот с этим я никак не могу согласиться. Если во второй раз делать полностью случайный выбор, то результат никак не будет зависеть от ранее сделанного выбора. И получится, что во втором случае мы будем выбирать из двух вариантов, поэтому шансы будут 50/50. То про что я писал в начале прошлого поста и был расчет для двух полностью случайных независимых друг от друга двух событиях. 2/3 Получается если именно всегда придерживаться стратегии смены выбора.

То есть для меня шансы выигрыша выглядят так:
Всегда делать случайный выбор = 1/2,
Всегда во втором случае выбирать старый вариант = 1/3,
Всегда во втором случае менять выбор = 2/3.

Это сообщение отредактировано vad - 6 октября 2008 | 11:18


#19 Wasteland Ghost

Wasteland Ghost

    Маленькое Злое Привидение

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 3 451 сообщений

Отправлено 04 Октябрь 2008 - 10:59

И получаешь ты 3/6 = 1/2, т.е. неправильный ответ. :) Вместо ФПВ можно было бы рассматривать ситуацию как совместный выбор "разноцветных шариков из двух урн", но здесь это не сработает, т.к. события зависимы.
QUOTE
А вот с этим я никак не могу согласиться. Если во второй раз делать полностью случайный выбор, то результат никак не будет зависеть от ранее сделанного выбора. И получится, что во втором случае мы будем выбирать из двух вариантов, поэтому шансы будут 50/50. То про что я писал в начале прошлого поста и был расчет для двух полностью случайных независимых друг от друга двух событиях. 2/3 Получается если именно всегда придерживаться стратегии смены выбора.

И вот тут ты полностью неправ. Первый выбор определяет вероятности одной из двух гипотез: победил сразу или победил со второго раза. Т.е. первый случайный выбор определяет последующую ситуацию, выбор в которой тоже случаен.
Ладно, поднапряжёмся и сведём-таки к "схеме урн", т.е. к твоим любимым несовместным равновероятным событиям, образующим полную группу. :) Пусть имеются три урны: в одной все шары белые, во второй и третьей по одному чёрному и одному белому шару. Какова вероятность вытащить белый шар? Посчитаем. ;) У нас три гипотезы: H1, H2, H3 (по номерам урн). Вероятности: P(H1)=P(H2)=P(H3)=1/3. Условные вероятности: P(б|H1)=1, P(б|H2)=P(б|H3)=1/2. Вероятность вытащить белый шар: P(б)=1/3*1+1/3*1/2+1/3*1/2=1/3+1/6+1/6=2/3. Можно рассуждать иначе: H1 -- это гипотеза о том, что мы попали в урну номер 1, а H2 -- что попали в урну 2 или 3. Тогда P(H1)=1/3, P(H2)=2/3, P(б)=1/3*1+2/3*1/2=2/3. Два способа решения дали один результат. ;)

Распространённая ошибка -- рассматривать расчёт вероятности по схеме случаев как проведение опыта. Это не так. Ты не проводишь опыт, ты находишь равновероятные варианты, считаешь их количество и прикидываешь шансы на успех. Ничего более. Опыта как такового нет.


#20 vad

vad

    Продвинутый пользователь

  • Пользователи
  • PipPipPip
  • 87 сообщений

Отправлено 04 Октябрь 2008 - 15:54

Ненене... Про урны совсем другая задача получается. В нашем случае:
1. В каждой урне 1 шарик.
2. Мы шарик вытаскиваем, но держим его в кулачке и цвет не видим.
3. Из одной урны вытаскивается черный шарик и спрашивают не хотим ли мы положить наш обратно и вытащит шарик из другой урны.
В общем, попросту говоря, если мы сразу отгадали, то не факт что победили т.к. с вероятностью 1/2 мы откажемся от выигрышного варианта, когда нас спросят. А ведь когда нас спрашивают мы не всегда отказываемся или соглашаемся, а по рандому выбираем из двух вариантов.

Это сообщение отредактировано vad - 5 октября 2008 | 22:41




Похожие темы Свернуть

  Название темы Форум Автор Статистика Последнее сообщение


Количество пользователей, читающих эту тему: 0

0 пользователей, 0 гостей, 0 анонимных

Рейтинг@Mail.ru