Да нет, со статьёй всё в порядке. И физикам пора по второму кругу на третий курс. Собственно, мне пора туда же.
Признавать свои ошибки трудно, но необходимо. Начнём с того, что решала я совсем другую задачу.
Хоть ответ и получился правильный.
Приведённое мной решение справедливо в том случае, если после первой же удачной попытки игра заканчивается и засчитывается выигрыш. А здесь-то не так. Вне зависимости от того, угадали мы в первый раз или нет, игра продолжается и ведущий предлагает нам изменить решение. И вот тут-то на удочку попадаются даже знаменитые математики, такие как Пол Эрдёш.
Итак, что же всё-таки происходит на самом деле и как же решить эту задачу математически строго...
Посмотрим на три двери, за одной из которых находится автомобиль, а за двумя другими -- уставшие от всех этих споров козлы, тяжело вздохнём и приступим. Имеются три игрока: великий математик Пол Эрдёш, уверенный, что вероятность выигрыша определяется только исходным раскладом и, следовательно, равняется 1/3, торопыга WG, уверенная, что самый оптимальный выбор -- подбросить монетку, потому что всё случайно, и хитрый математик, подкинувший заметку журналу "Parade". На первом этапе троица солидарна: нужно совершенно случайным образом ткнуть пальцем в одну из дверей. Двери никто не открывал и вообще никаких действий никто не совершал, потому как козлы привязаны и вообще бродить между дверями им строго воспрещается.
Потому и вероятностей наш выбор не меняет. Козлы и автомобиль расположены за дверьми случайно, всего их три, причём автомобиль один, а козлов два, стало быть:
- вероятность "автомобиля", при условии, что мы выбрали дверь 1: P(А|1)=1/3
- вероятность "автомобиля", при условии, что мы выбрали дверь 2: P(А|2)=1/3
- вероятность "автомобиля", при условии, что мы выбрали дверь 3: P(А|3)=1/3
- вероятность "козла", при условии, что мы выбрали дверь 1: P(К|1)=2/3
- вероятность "козла", при условии, что мы выбрали дверь 2: P(К|2)=2/3
- вероятность "козла", при условии, что мы выбрали дверь 3: P(К|3)=2/3
Итак дверь выбрана. Ведущий открывает одну из двух оставшихся дверей... и наша троица вступает в бурный спор. Пол Эрдёш утверждает, что действия ведущего не изменили изначального расклада вероятностей, потому и менять свой выбор смысла нет. Проверим его стратегию. Пусть P(1), P(2) и P(3) -- вероятности того, что мы выбрали первую, вторую и третью дверь соответственно при первой попытке. Двери абсолютно одинаковые, выбирали мы их случайно, стало быть, вероятности эти равны 1/3. Получаем:
P(А)=P(1)*P(А|1)+P(2)*P(А|2)+P(3)*P(А|3)=1/3*1/3+1/3*1/3+1/3*1/3=1/3.
Торопыга WG утверждает, что нечего тут думать: козлищ и авто размещали случайно, стало быть и выбирать между дверьми надо случайно. Дверей осталось две, за одной авто, за другой козёл, стало быть, P(А')=1/2 и всего получаем:
P(А)=P(1)*P(А')+P(2)*P(А')+P(3)*P(А')=1/3*1/2+1/3*1/2+1/3*1/2=1/2.
Но тут в разговор вступает хитрый математик. Он решает изменить своё решение и выбрать оставшуюся дверь. Естественно, выиграет он тогда и только тогда, если в первый раз он ошибся, т.е. попал на дверь с козлом:
P(А)=P(1)*P(К|1)+P(2)*P(К|2)+P(3)*P(К|3)=1/3*2/3+1/3*2/3+1/3*2/3=2/3.
Вот такие вот пироги.
