Сообщений в теме: 83

[IRI]

Когда придёт какой-нибудь логопед-зануда =Ъ

[Wasteland Ghost]

2Infernal knight
Сие есть вариационная задача при наличии ограничений, вестимо. Т.е. да, оно.

2hasherfrog
Парадокс заключается в чисто человеческом восприятии условия "... после чего ведущий откроет дверь, за которой находится козёл..." Т.е. на первый взгляд действия ведущего не дают никакой дополнительной информации, но это не так. Ну и опять же... у меня возникает ощущение, что не все верно понимают, что есть вероятность. Нет ту никакого "на словах" и "на деле". Вероятность существует лишь на кончике пера, это лишь мера возможности события. И она не меняется. Просто вероятности бывают разные: априорные, апостериорные, условные, совместные...
Отвлечёмся-ка на секунду от фразы "смена решения". Она -- есть описание простого действия, эквивалентного действию "бросок кубика". Решим классическую задачку: какова вероятность того, что подбросив шестигранный кубик мы получим число 1? Многие скажут 1/6 и не ошибутся. Мы описали возможное действие, определили благоприятное условие -- выпадение 1 -- и нашли вероятность этого события. Теперь вернёмся к нашим баранам... т.е. к козлам. Построим вопрос по аналогии с кубиком (условия игры переписывать не буду): какова вероятность выиграть автомобиль в заданных условиях, если первоначально выбрать случайную дверь, а после действий ведущего сменить решение? Найдём благоприятные условия. Наш первоначальный выбор может пасть либо на автомобиль, либо на козла. Что там за дверью мы не знаем. Ведущий открывает одну из двух оставшихся дверей, за которой находится козёл. Мы меняем дверь с той, на которую указывали первоначально, на ту, которая осталась после действий ведущего. В каком случае мы выиграем? Если мы случайно ткнули в автомобиль с первого раза, то смена решения уведёт нас в сторону от выигрыша. Если же мы ткнули в козла, то смена решения даст нам автомобиль, т.к. второго козла ведущий убрал. Т.о. благоприятствующей выигрышу при описанной стратегии ситуацией является "ткнуть в козла при первом выборе". А вероятность этого события равна 2/3.
Описать эту картину можно примерно так. Есть два варианта разбиения множества "призов" после того, как мы сделали первый выбор: (а) + (к, к) или (к) + (к, а). На первом варианте мы "держим палец", со вторым "работает" ведущий -- убирает оттуда козла: (а) + (к) или (к) + (а). Хорошо видно, что во втором варианте смена первоначального выбора приводит к выигрышу. Вероятность первого расклада равна 1/3, второго -- 2/3.
Как и сказано по ссылке в вики, задача становится понятнее, если довести её до абсурда. Пусть дверей 1000. За одной находится автомобиль, а за остальными 999 -- козлы. После того, как мы сделали выбор, ведущий открывает 998 дверей с козлами, так, чтобы в конечном итоге остались всего 2 неоткрытые двери. Вероятность попасть в автомобиль при первом выборе ничтожно мала: 1/1000. Стало быть, мы почти всегда будем попадать в козла. После чего ведущий будет убирать из игры оставшихся 998 козлов и фактически сам указывать нам на автомобиль. Вероятность выиграть в такой игре по стратегии смены выбора равна 999/1000.

QUOTE

Sokil, Вы бросили монетку, выпал орёл. Вы бросаете ещё раз. Какова вероятность того, что выпадет орёл?

1/2. Sokil полностью прав. Эти события независимы. Если же, действительно, вопрос ставить как "какова вероятность получить двух орлов бросая монетку 2 раза", то ответ будет 1/4. И, кстати, события тут тоже независимы.

QUOTE

А вот попробуем сплясать от козлов. На первом этапе испытания вероятность выбрать проигрышный вариант равна 2/3. А на втором этапе: 1/2. Перемножаем вероятности: 2/3*1/2 = 1/3 Следовательно, вероятность выигрыша 1 - 1/3=2/3

Ответ верный, решение неверное.

PS Отвечала долго, потому ответ IRI не видела.

Это сообщение отредактировано Wasteland Ghost - 6 октября 2008 | 22:02

[Zanuda]

Вся проблема в том, что теория вероятности работает при бесконечном количестве попыток. А для единичного случая, для конкретной ситуации с Якубовичем вероятность угадывания при обоих вариантах будет 1/2 - угадаете или нет. Так что смысла указывать на другую коробку нет - вероятность угадывания в конкретной единичной игре не растёт, и незачем делать лишние движения.

[Wasteland Ghost]

Zanuda, и ты тоже не понимаешь теорию вероятностей. Точнее, путаешь её с мат. статистикой. Для того, чтобы посчитать вероятность, не надо проводить опытов. Что все пристали к статистическому определению? Их вообще-то три: аксиоматическое, классическое, статистическое и геометрическое. Сколько бы раз ты ни играл, вероятность выигрыша будет одинаковой. А вот сколько раз надо сыграть, например, чтобы выиграть N раз, -- это уже совсем другая задача. Или как проверить полученный результат: вот тут нужны опыты и чем больше, тем лучше.

[Zanuda]

Я конечно не математик, но как нас учили на военной кафедре (ПВО), если самолёт летит в зоне поражения и мы пускаем ракету, то возможность попадания 1/2 - попадём или нет. Заранее угадать невозможно. Вот когда летит N самолётов и мы пускаем M ракет, тогда какое-то количество X собьём и количество сбитых будет равно вероятности попадания.
Для единичного случая при выборе из двух вариантов вероятность всегда 1/2. Так что вопрос: увеличиться ли вероятность выигрыша, если передумать, для конкретной игры - нет, для бесконечного множества игр - да.
Ходил летом в поход с группой мехматян. Они такие математические парадоксы показывали, что просто мозги плавятся. Например, доказали, что можно из одного шара сделать два такого же диаметра, плотности и материала. Математически это у них проходит. А вот реально это сделать они не смогли

[Sokil]

QUOTE

), если самолёт летит в зоне поражения и мы пускаем ракету, то возможность попадания 1/2 - попадём или нет.

Хех. Я ставлю мишень, отхожу на двадцать метров, поворачиваюсь к мишени спиной и стреляю. Возможны два варианта: 1) попаду, 2) не попалу. Следуя вашей логике, вероятность попасть в мишень равна 1/2. Занавес.
Помню, на ОБЖ отставной офицер рассказывал физикам-теоретикам про явление термоядерного синтеза. Было очень смешно.

[hasan]

QUOTE

если самолёт летит в зоне поражения и мы пускаем ракету, то возможность попадания 1/2 - попадём или нет.

Есть такое понятие, как равновероятность событий. В этом примере события не равновероятны.

[hasherfrog]

Wasteland Ghost, тут какая-то непонятка.

>> Sokil полностью прав. Эти события независимы.

Если так, то и в случае с козлами вероятность не изменяется. Мы отбрасываем результаты всех действий с дверьми -- и пытаемся выбрать из двух. И вероятность 1/2.

Или учитываем предыдущие действия. Но тогда, в случае с монетками, вероятность 1/4. Я не знаю, закон больших чисел тут, или ещё что... Вы программку напишите (для решения примера с монетками).

[Sokil]

На самом деле эксперимент с козлами проходит не в два этапа, а в один. То, что математик меняет свой выбор - это детерминированный поступок, тут никакой вероятности нет. Я сначала считал неправильно: 2/3 (вероятность выбора козла) умножал на 1/2 (второй шаг). но в том-то и прикол, что второго шага не существует. С открытием заведомо проигрышного варианта и сменой выбора вароятность проигрыша просто превращается в вероятность выигрыша.

[hasherfrog]

>> Вы программку напишите (для решения примера с монетками).

Сам себе написал (в смысле, задумался, как) и вроде бы понял свой косяк.
Всё, у меня больше вопросов нет, я кругом неправ :

Короче говоря, я опять ничего не понимаю.
Ну его в баню.

[Wasteland Ghost]

Да-а-а... на военной кафедре такие математики работают... Я тут анекдот вспомнила один в тему. Спрашивают мужика, какова вероятность того, что выйдя на улицу он встретит динозавра. Тот отвечает, что ничтожно мала, практически равна нулю. Почему? Ну, динозавры-то вымерли. Значит вероятность встретить динозавра практически нулевая. Потом подходят к блондинке и задают ей тот же вопрос. Она отвечает, что 1/2. Как? Почему? А, грит, всё просто. Либо встречу, либо нет.

Для справки. При стрельбе по мишени заряд отклоняется от центра по x и y по нормальному (гауссовскому) закону. При этом расстояние от центра до точки попадания тоже, ессно, случайно и подчиняется закону Релея. Вероятность попасть строго в центр благополучно равна нулю. Вероятность попасть в некоторую эпсилон-окружность рядом с центром будет определяться интегралом по этой области от плотности вероятности. Так, для справки...

Теперь о двух монетках. Эту задачу можно решить двумя способами. Первый. Мы бросаем две монетки. Результаты бросков независимы, равновероятны, несовместны и тэ дэ и тэ пэ. Посчитаем число вариантов. Их 4: (орёл, орёл), (орёл, решка), (решка, орёл), (решка, решка). Сколько вариантов благоприятствуют событию "выпало две решки"? Один. Стало быть, вероятность равна 1/4. Второй способ. Через умножение вероятностей. Вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Т.е. получаем 1/2*1/2=1/4. А вообще, тут всё просто, достаточно лишь перечислить интересующие нас события через "И" и "ИЛИ". "И" будет означать умножение, "ИЛИ" -- сложение. Только при этом надо помнить о том, что складывать можно только вероятности несовместных событий, а умножать -- независимых. В общем же случае формулы выглядят так:
P(A+=P(A)+P(-P(AB)
P(AB)=P(A)*P(B|A)=P(*P(A|
Если события несовместны, то P(AB)=0. Если независимы, то P(B|A)=P( и P(A|=P(A).

Теперь о козлах. Перешедший в лагерь хитрого математика Sokil снова высказался совершенно верно. Случайности при втором выборе нет. Потому что козлов уже как-то случайно разместили и второй раз их не переставляли. И потому, что ведущий тоже совершенно неслучайно открыл все двери с оставшимися козлами. Благоприятствующую выигрышу ситуацию при стратегии смены выбора уже расписали: "попасть в козла при первом выборе". Как бы это объяснить... ищем-то мы не вероятность того, что мы или ведущий совершат какие-то действия, а вероятность выигрыша. Которая определяется по-разному, при разных стратегиях.

[Desert Eagle]

В задаче с Якубовичем, мне кажется, правильный ответ "с равной выгодой оставить свой выбор или поменять его", поскольку не известно, всегда ли Якубович дает такой "уникальный шанс" или же только тогда, когда ты правильно угадал

Если считать, что он это делает случайно (для тебя, по крайней мере), то можно считать, что он кинул монетку до выбора шкатулки. Выпал орел, и он одну убрал, а дальше уже начинается твоя игра: ты выбираешь из двух шкатулок => шансы равные.

Но лучше все-таки постараться выудить у него дополнительной информации. Или хотя бы, если ты знаешь, что он не всегда предлагает такую возможность, то сделать предположение о его мотивах (и соответственно не изменять свой выбор). Хотя и сам Якубович может подумать ,что ты думаешь так и подловить тебя. Вероятность тут уже не рассчитаешь.

QUOTE

Поясните пожалуйста, что значит абсолютно случайный выбор? P.S. ...и чем он отличается от просто случайного?:-)

Наверное, бывает коррелированный )


Задача с верблюдом.
В первом приближении нужно вынести всю воду, при этом проделав минимальный путь (не перемещение), т.к. на этот путь мы тратим воду.

Хотя, есть вероятность, что если задействовать не всю воду, то донести получится больше. Это не очевидно, на мой взгляд.

Имхо надо решать с конца: верблюд может отнести от точки 0 до города 1000л, при этом столько же он выпьет. Поэтому то, что попадет в город - это то, что он натаскает предварительно и оставит на пути.

Соответственно, если он в заключительном путешествии пройдет 300км, то сможет захватить еще 300л, и тогда у него будет снова 1000л, а в город попадут эти самые 300л (т.к. 700 он выпьет). Если 400 - то 400.

Значит, ему нужно отнести как можно большее количество воды на как можно большее расстояние.

Замечу, что если верблюд пройдет, например, 300км, ему останется еще 300л на обратный путь, и 400л он может оставить. Но значит в последнем путешествии на трехсотом километре он не сможет прихватить все 400л, а только 300 => 100 л придется оставить.

Другой нюанс: чем дальше верблюд уйдет в предварительном заходе, тем меньше он сможет оставить воды для последнего путешествия => ему нужно отнести воду на самом деле на минимальное расстояние от 0, но так, чтобы он всю ее смог забрать в последний раз.

Дальше чисто интуитивно за 2 предварительных захода мы доходим до одной и той же точки. Это не строгое доказательство, но попробовав разные варианты, я убедился, что часть воды приходится оставить.

Поэтому берем 1000л, доходим до одной точки - 400км. Там оставляем 200л и возвращаемся.
Во второй заход - аналогично. Получаем 400л на 400м километре.
В третий заход верблюд проходит 400км (тратя 400л), берет 400л, проходит оставшиеся 600, тратя 600л, до города доносит 1000-600=400л

По идее всю воду забрали и потратили только на путь. Хоть это и не минимальный путь, но возможно минимальный путь, чтобы потратить на него всю воду.
(Может, у кого больше получится донести, я не знаю)

PS По загадкам уже была тема
Занимательные задачки и загадки
лучше в нее писать, имхо.


Отправлено: 7 окт 08 12:37

QUOTE

Она отвечает, что 1/2. Как? Почему? А, грит, всё просто. Либо встречу, либо нет.

Кстати, блондинка была права!
При полной неопределенности только так и можно рассчитать вероятность.
А как еще ее рассчитать? Если я за 20 лет ни разу на улице не встретил динозавра - значит вероятность его встретить 0 - так что ли?

Это сообщение отредактировано Desert Eagle - 7 октября 2008 | 12:40

[IRI]

Desert Eagle, а где же доказательство того, что это максимальное количество воды, которое можно притащить? Тем более, что максимальное — 533.

[Desert Eagle]

Ну я свой ход решения огласил, теперь ты свой огласи.
PS Кстати, интуиция мне подсказывает, что если 533, то все-таки не 533, а 533+1/3

Это сообщение отредактировано Desert Eagle - 7 октября 2008 | 12:54

[IRI]

То не мой, а опубликованный на eruditor.ru, ссылку куда давала Wasteland Ghost. Дробные доли литров можно не считать — мелочь.

QUOTE

При полной неопределенности только так и можно рассчитать вероятность. А как еще ее рассчитать? Если я за 20 лет ни разу на улице не встретил динозавра - значит вероятность его встретить 0 - так что ли?

Полной неопределенности заведомо нету, потому что все знают, что такое динозавры и когда они вымерли. Однако, разумеется, точной формулы для рассчета динозавра не дать (формулировка задачки и вопроса слишком туманная, то есть не оговоривается, что можно считать за динозавра и каковы условия, при которых можно считать, что он встречен, а при каких — не встречен, и пр.).

Это сообщение отредактировано IRI - 7 октября 2008 | 19:08

[Wasteland Ghost]

Desert Eagle, если ты чего-то не знаешь, это не означает, что это не существует. Во-первых, по условию задачи "Якубович" всегда открывает дверь с козлом. Всегда. И решение требуется найти математическое, а не на кофейной гуще погадать. "Мне кажется" -- это не ответ. Здесь уже энное количество раз всё объяснили на пальцах и доказали. Почитай для разнообразия. По поводу блондинки. Ты про аксиоматическое определение вероятности слышал? Этот тот самый случай.

[Desert Eagle]

Черт, я тут посмотрел, как ни крути, лучше, чем у dimkи решение не получается. Че-то я поторопился. Вроде даже доказательство не нужно: все очевидно оказывается.

QUOTE

Desert Eagle, если ты чего-то не знаешь, это не означает, что это не существует.

Например, у Якубовича в шкатулке существует козел :Р
(я этого не знал)

QUOTE

По поводу блондинки. Ты про аксиоматическое определение вероятности слышал? Этот тот самый случай.

Ну и чему в данном случае равна вероятность?

[Wasteland Ghost]

QUOTE

Ну и чему в данном случае равна вероятность?

Бесконечно малой величине (есть в математике такое понятие). И мы её не вычисляем, а задаём (как аксиому), руководствуясь некими соображениями.

[Desert Eagle]

Как аксиому можно задать и 0.5.

QUOTE

руководствуясь некими соображениями.

По-моему, нет принципиального отличия от гадания на кофейной гуще (имхо, конечно).

Это сообщение отредактировано Desert Eagle - 8 октября 2008 | 10:34

[dimka]

QUOTE

Как аксиому можно задать и 0.5.

Продолжая этот логический ряд, можно и 0.6 задать и 0.8... Оценка вероятности в данном случае базируется на количестве имеющейся информации. Информации, подтверждающей факт вымирания динозавров, все же больше, чем обратной.