Сообщений в теме: 7

[Berkut]

Добрый день.

Хотите голову поломать? Есть тут задачка, которая вытрясла мне весь мозг. Есть планета радиусом 6366 км, массой 5,97·10²⁴ кг, с атмосферой толщиной 15 км, плотностью 1,225 кг/м³ у поверхности и 0 кг/м³ на высоте 15 км, зависимость плотности от высоты линейная. Ещё есть абсолютно упругий, прочный, неразрушимый сферический шар массой в 1 тонну диаметром 1 метр. Вопрос: с какой минимальной скоростью и под каким углом нужно бросить шар с поверхности планеты, чтобы он преодолев сопротивление атмосферы вышел на круговую или эллиптическую орбиту вокруг планеты? После запуска на шар действует лишь сила лобового сопротивления (подъёмную силу в расчёт не берём) и сила притяжения планеты.

Задачу решаю уже неделю. Экспериментальным путём установлено, что если запустить шар вертикально в небо со скоростью 61,22 км/с, то он выйдет из атмосферы со второй космической скоростью и отправится покорять пространство. Запуски же под углом к горизонту либо заканчиваются авариями на взлёте (читай: шар не покидает атмосферу), либо суборбитальными полётами (по высокой эллиптической орбите шар выходит из атмосферы со скоростью меньше второй космической и через некоторое время рушится в объятия планеты), либо покорением межпланетного пространства. Стабильная эллиптическая орбита никак не желает получаться. Будут желающие присоединиться?

[Desert Eagle]

Ну, во-первых, нужно записать уравнение движения с добавлением туда силы тяжести и силы сопротивления атмосферы. Получится обыкновенное дифференциальное уравнение второй степени, куда будет входить еще и первая производная от радиус-вектора, поскольку сопротивление пропорционально скорости.

Так на вскидку не скажу, но возможно, что такое уравнение вообще не решается в элементарных функциях. Впрочем, это и не нужно, поскольку некоторые исследователи утверждают, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Дальше такое уравнение решается моделированием на компьютере.

Во-вторых, нужно понять, что есть орбита. Это частное решение этого ОДУ для каких-то начальных условий. Хотя, решение — это зависимость радиус-вектора от времени, а орбита — это скорее геометрическое место точек тела, но, в принципе, можно так сказать.

Теперь, есть решения, для которых планета лежит на орбите, а есть решения, для которых не лежит. Можно посмотреть любой рисунок и увидеть, что орбиты не пересекают Землю. Если же тело стартует с Земли, это означает, что Земля лежит на орбите, поэтому тело и должно упасть обратно.

Может, не совсем строгое доказательство, но, по-моему, интуитивно понятное.
Я думаю, BAPBAP меня поправит, если я ошибаюсь.

Теперь, как же спутники выводят на орбиту? А фишка в том, что ракета-носитель их забрасывает на какую-то высоту, а дальше радиоуправлением спутник корректируют.

PS Поскольку в задаче присутствует сопротивление воздуха, то стационарной орбиты здесь вообще не получится, поскольку, очевидно, после взлета тело опять войдет в атмосферу, а поскольку атмосфера отнимает энергию тела, то тело рано или поздно упадет обратно на планету.

Это сообщение отредактировано Desert Eagle - 3 октября 2014 | 17:30

[Berkut]

>>Получится обыкновенное дифференциальное уравнение второй степени
С этим беда. Бог свидетель, что я пытался, но получается какая-то похабщина. В задаче двух тел есть пример в векторной форме, но его я пока не осилил.

>>первая производная от радиус-вектора, поскольку сопротивление пропорционально скорости
Квадрату скорости.

>>Теперь, есть решения, для которых планета лежит на орбите, а есть решения, для которых не лежит. Можно посмотреть любой рисунок и увидеть, что орбиты не пересекают Землю. Если же тело стартует с Земли, это означает, что Земля лежит на орбите, поэтому тело и должно упасть обратно.
Вот тут не согласен. Если после выхода из атмосферы вектор скорости будет направлен параллельно поверхности планеты и по модулю скорость будет превышать первую космическую (эта точка будет перицентром орбиты), то объект в атмосферу уже не вернётся и продолжит движение исключительно под действием сил притяжения. Вопрос в том, возможно ли такое?

Я пока способен моделировать полёты шара с довольно высокой точностью: при первой космической скорости без атмосферы шар послушно наматывает витки вокруг планеты по круговой орбите в метре от поверхности, правда из-за накопления ошибки интегрирования он в теряет в скорости 0,0025% каждый виток. При скорости чуть-чуть ниже второй космической уходит на громадную эллиптическую орбиту и летает по ней чуть ли не 10 минут реального времени, при преодолении же второй космической послушно улетает в пространство.

С атмосферой труднее. Численными методами её взять я не могу, т. к. не могу построить вменяемую функцию, которую мог бы оптимизировать. Перебор диапазона углов и скоростей результата не дал — после 2-х часов расчётов компьютер выдал мне десятки тысяч падений и несколько тысяч выходов в открытый космос. Результатов хоть сколько-то близких к искомым не было вовсе.

[BAPBAP]

Desert Eagle прав, без корректировки никак.

QUOTE

Вот тут не согласен. Если после выхода из атмосферы вектор скорости будет направлен параллельно поверхности планеты и по модулю скорость будет превышать первую космическую (эта точка будет перицентром орбиты), то объект в атмосферу уже не вернётся и продолжит движение исключительно под действием сил притяжения. Вопрос в том, возможно ли такое?

Если вектор скорости сперва был направлен куда-нибудь вверх (старт же, куда ему быть направленным, как не хоть чуть-чуть вверх?), а потом стал направлен параллельно поверхности планеты — это не ПЕРИЦЕНТР (нижняя точка траектории), а АПОЦЕНТР (верхняя точка). Ну а если это апоцентр, то дальше будет движение только вниз, обратно в тормозящую атмосферу. Насчёт орбиты вы уже наверное догадались
Berkut, раз без атмосферы на первой космической всё летает — ты всё верно посчитал, но малеха понятия перепутал, оттого и вывод получился неверный.
Познавательно.

[Berkut]

BAPBAP, Desert Eagle, похоже, вы правы. За познавательную информацию спасибо. Она подтвердила мои экспериментальные данные, ведь у меня тоже получались стабильные параболические и гиперболические орбиты и нестабильные эллиптические. Значит компьютерная модель верна, а значит всё не зря.

[Desert Eagle]

Berkut, спасибо за интересную задачу! Я вот задумался, а можно ли строго это доказать.

На всякий случай напишу, как составлять такое дифференциальное уравнение.
Во-первых, векторные величины принято обозначать жирным шрифтом.
Во-вторых, в ОДУ есть только одна свободная переменная. В задачах по физике эта переменная — время. Получается так из второго закона Ньютона, что сумма сил, действующих на тело, пропорциональна ускорению тела. А ускорение — вторая производная от радиус-вектора тела по времени.
В-третьих, когда уравнение получено в векторном виде, можно записать его в проекциях на оси координат. В этом случае векторы просто заменяются своими проекциями.

Ок, обозначим m1 — масса шара (снаряда), m2 — масса планеты, r1 — радиус-вектор центра масс шара, r2 — радиус-вектор центра масс планеты.
Запишем все силы, которые действуют на шар.
F12-kr1'=m1r1''.
Здесь F12 сила гравитации, которая действует на шар со стороны планеты.
-kr1' — это сила вязкости среды, направлена всегда против скорости, отсюда и знак минус. В отличие от силы трения, сила вязкости среды пропорциональна скорости движения тела, а не силе, которая это тело придавливает к поверхности. k — это коэффициент пропорциональности, который зависит от параметров тела и среды. Рассчитывается с помощью закона Стокса (в статье есть способ расчета).

То же самое запишем для планеты.
F21=m2r2''. Здесь F21 сила гравитации, которая действует на планету со стороны шара. По третьему закону Ньютона
F12=-F21. Кроме того, по закону гравитации
F12=-F21=Gm1m2(r2-r1)/|r2-r1|^3.

Исключаем из полученных уравнений силы F12 и F21 и получаем систему из двух диффуров с двумя неизвестными r1 и r2:
Gm1m2(r2-r1)/|r2-r1|^3-kr1'=m1r1''.
Gm1m2(r2-r1)/|r2-r1|^3=-m2r2''.

Нужно как-то исключить переменные, чтобы получилось два дифура, в каждом из которых будет только одна неизвестная. Например, можно воспользоваться законом сохранения импульса, из которого следует, что центр масс системы планета-шар останется неподвижным. Радиус-вектор такой системы рассчитывается по формуле rc=(m1r1+m2r2)/(m1+m2)=const. Отсюда r2 выражается через r1 и подставляется в первое уравнение.
Хотя, можно и не исключать переменные, а сразу численными методами решать всю систему.

Но это, конечно, еще не все. Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит в себе n-1 параметр. Эти параметры определяются начальными условиями. Т. е. нужно задать начальную координату, начальную скорость, начальное ускорение (если это уравнение третьего порядка) и т.д.
В нашем случае задаются r1(t=0), r2(t=0),r1(t=0)'. Начальная скорость планеты r2(t=0)' рассчитывается из закона сохранения импульса. Константа const рассчитывается на основе этих начальных условий (входных параметров задачи).

Систему координат удобнее всего выбрать в центре масс планеты. Тогда r2(t=0)=0.
Ну, вроде всё.

[Berkut]

Desert Eagle, если я правильно всё понимаю, то закон Стокса справедлив для жидкостей. Для газов просто лобовое сопротивление. И там квадрат скорости, параметры объекта и атмосферы.

Дифуры буду грызть. В жизни, говорят, пригодится.

[Desert Eagle]

В законе Стокса тоже упоминается сила лобового сопротивления, а динамическая вязкость может быть и у газа (так написано в статье "Вязкость (внутреннее трение)"). Впрочем, я думаю, это не очень трудно: заменить v на v^2. Вообще, я слышал разные мнения на этот счет, например, что для маленьких скоростей верно v, а для больших — v^2. Не знаю, где тут правда, и с какого момента скорость становится "большой".

QUOTE

Дифуры буду грызть. В жизни, говорят, пригодится.

Успехов! Лучше какой-нибудь учебник читать. Например, Пискунов Н.С. "Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов т.2"

Это сообщение отредактировано Desert Eagle - 4 октября 2014 | 15:12